Διακριτή Πιθανότητα

Ένα πείραμα τύχης είναι μία διαδικασία που έχει ένα συγκεκριμένο αριθμό δυνατών αποτελεσμάτων. Για παράδειγμα στη ρίψη ενός νομίσματος έχουμε δύο πιθανά αποτελέσματα: {Κ, Γ}. Σε κάθε επανάληψη του πειράματος θα συμβεί ακριβώς ένα από αυτά.

Το σύνολο όλων των δυνατών αποτελεσμάτων ενός πειράματος ονομάζεται δειγματικός χώρος του πειράματος και συμβολίζεται με το Δ. Τα στοιχεία του δειγματικού χώρου ονομάζονται δείγματα ή δειγματικά σημεία.

Για παράδειγμα για το πείραμα της ρίψης δύο νομισμάτων ο δειγματικός χώρος είναι Δ={ΚΚ, ΚΓ, ΓΚ, ΓΓ}, ενώ το ΓΓ είναι το δειγματικό σημείο που αντιστοιχεί στο αποτέλεσμα γράμματα - γράμματα.

Με κάθε δείγμα xi ενός δειγματικού χώρου Δ={x1, x2, …, xn} είναι συνδεδεμένος ένας πραγματικός αριθμός που ονομάζεται πιθανότητα αυτού του δείγματος και συμβολίζεται με p(xi).

Για τη πιθανότητα ισχύουν τα παρακάτω:

1. Για κάθε xi ενός δειγματικού χώρου Δ ισχύει 0£ p(xi)£ 1

2. Σx Ξ Δ p(x)=1

Εάν τα δείγματα ενός δειγματικού χώρου Δ={x1, x2, …, xn} έχουν όλα την ίδια πιθανότητα, με βάση τα παραπάνω η πιθανότητα κάθε δείγματος θα είναι p(xi)=1/n. Για παράδειγμα για το πείραμα της ρίψης δύο νομισμάτων ο δειγματικός χώρος είναι Δ={ΚΚ, ΚΓ, ΓΚ, ΓΓ}, και η πιθανότητα του δείγματος ΓΓ είναι p(xi)=1/4.

Έστω ότι επαναλαμβάνουμε το ίδιο πείραμα πολλές φορές. Ονομάζουμε σχετική συχνότητα ενός δείγματος το αποτέλεσμα της διαίρεσης του πλήθους των εμφανίσεων του δείγματος προς το συνολικό αριθμό των επαναλήψεων του πειράματος. Η πιθανότητα ενός δείγματος είναι ένα μέτρο της αναμενόμενης σχετικής συχνότητας αυτού. Για παράδειγμα εάν επαναλάβουμε το πείραμα της ρίψης δύο νομισμάτων πολλές φορές αναμένουμε ότι το δείγμα ΓΓ θα εμφανιστεί περίπου στο 1/4 επαναλήψεων.

Ένα γεγονός είναι ένα υποσύνολο του δειγματικού χώρου ενός πειράματος. Ένα γεγονός ονομάζεται απλό εάν περιέχει μόνο ένα δείγμα. Εάν ένα γεγονός περιέχει περισσότερα του ενός δείγματα ονομάζεται σύνθετο γεγονός. Θα λέμε ότι ένα γεγονός συμβαίνει όταν εμφανίζεται κάποιο από τα δείγματα που συμπεριλαμβάνονται σε αυτό. Η πιθανότητα εμφάνισης ενός γεγονότος ισούται με το άθροισμα των πιθανοτήτων των δειγμάτων που περιλαμβάνονται σε αυτό.

Παράδειγμα: Ποια η πιθανότητα να πάρουμε ένα περιττό αριθμό όταν ρίχνουμε ένα ζάρι;

Ο δειγματικός χώρος είναι Δ={1, 2, 3, 4, 5, 6}. Το γεγονός να πάρουμε ένα περιττό αριθμό είναι Γ={1, 3, 5}. Κάθε δείγμα έχει πιθανότητα ίση με 1/6. Συνεπώς η πιθανότητα p(Γ)=1/6+1/6+1/6=1/2.

Παράδειγμα: Έστω ότι σχηματίζουμε τυχαία ένα τετραψήφιο αριθμό από τα ψηφία 1, 2, 3, 5, 7, 8 χωρίς δυνατότητα επανάληψης.

α) Ποια είναι η πιθανότητα να σχηματιστεί ο αριθμός 1235;

Ο δειγματικός χώρος Δ αποτελείται από όλους τους τετραψήφιους αριθμούς που μπορούμε να σχηματίσουμε από 6 διαφορετικά ψηφία χωρίς επανάληψη. Άρα γνωρίζουμε ότι ο πληθικός αριθμός του Δ είναι P(6,4)=360. Έστω το γεγονός Α={σχηματίζεται ο τετραψήφιος 1235}. Ο σχηματισμός κάθε τετραψήφιου αριθμού έχει την ίδια πιθανότητα. Συνεπώς p(A)=1/360.

β) Ποια η πιθανότητα να σχηματίσουμε αριθμό μικρότερο από 4000;

Έστω το γεγονός Β={σχηματίζεται τετραψήφιος μικρότερος από 4000}.

Ο πληθικός αριθμός του Β είναι ίσος με P(3,1)xP(5,3)=180. Συνεπώς p(B)=180/360=0,5.

(γ) Ποια η πιθανότητα να σχηματίσουμε άρτιο αριθμό;

Έστω το γεγονός Γ={σχηματίζεται άρτιος τετραψήφιος}. Ο πληθικός αριθμός του Γ είναι ίσος με P(2,1)xP(5,3)=120. Συνεπώς p(Γ)=120/360=1/3.

Παράδειγμα: Έστω 4 άτομα. Ποια η πιθανότητα να μην υπάρχουν δύο άτομα που έχουν γεννηθεί την ίδια ημέρα της εβδομάδας;

Το πλήθος των τρόπων με τους οποίους μπορεί να γεννήθηκαν 4 άτομα στις 7 ημέρες της εβδομάδας χωρίς κανένα περιορισμό είναι 74=2401.

Το πλήθος των τρόπων με τους οποίους μπορεί να γεννήθηκαν 4 άτομα στις 7 ημέρες της εβδομάδας υπό τον όρο ότι κάθε άτομο γεννήθηκε διαφορετική ημέρα είναι P(7,4)=7!/3! =840.

Συνεπώς η πιθανότητα είναι 840/2401» 0,35

 Παράδειγμα: Έστω 100.000 άνθρωποι, 51.500 γυναίκες και 48.500 άνδρες. Από τις γυναίκες 9.000 είναι φαλακρές και από τους άνδρες 30.200 είναι φαλακροί. Ο δειγματικός χώρος είναι Δ={γφ, γμ, αφ, αμ}. Να βρεθεί η πιθανότητα του κάθε δείγματος.

p(γφ)=0,090, p(γμ)=0,425, p(αφ)=0,302, p(αμ)=0,183

Έστω Α={επιλέγουμε φαλακρό}, Β={επιλέγουμε γυναίκα}, και Γ={επιλέγουμε άνδρα}.

Τότε Α={γφ, αφ}, Β={γφ, γμ}, και Γ={αφ, αμ}.

p(Α)=p(γφ)+ p(αφ)=0,090+0,302=0,392

p(Β)=p(γφ)+ p(γμ)=0,090+0,425=0,515

p(Γ)= p(αφ)+ p(αμ)=0,183+0,302=0,485

 Παράδειγμα: Επτά (διαφορετικά) αυτοκινητιστικά δυστυχήματα συνέβησαν σε μία εβδομάδα. Ποια είναι η πιθανότητα να συνέβησαν όλα την ίδια μέρα;

Προφανώς σε μία ημέρα μπορεί να συμβούν περισσότερα του ενός δυστυχήματα. Άρα ο πληθικός αριθμός του δειγματικού χώρου είναι ίσος με τον αριθμό των τρόπων τοποθέτησης 7 διαφορετικών μπαλών (δυστυχήματα) σε 7 αριθμημένα κουτιά (ημέρες) με επανάληψη, δηλαδή 77= 823.543

Αν Α={τα δυστυχήματα συνέβησαν όλα την ίδια μέρα} τότε ο πληθικός αριθμός του Α ισούται με το 7 γιατί υπάρχουν 7 τρόποι να συμβούν όλα τα δυστυχήματα την ίδια ημέρα.

Άρα p(A)=7/823.543=0,000008.

 

 Παράδειγμα: Έστω ότι επιλέγουμε τυχαία ένα από τους ακεραίους που είναι μεγαλύτεροι ή ίσοι του 10 και μικρότεροι του 40. Είναι γνωστό ότι οι αριθμοί με το ίδιο πρώτο ψηφίο έχουν την ίδια πιθανότητα να επιλεγούν και ότι ένας αριθμός με το 2 ως πρώτο ψηφίο έχει διπλάσια πιθανότητα να επιλεγεί από έναν αριθμό που έχει το 1 ως πρώτο ψηφίο. Επίσης ένας αριθμός με το 3 ως πρώτο ψηφίο έχει τριπλάσια πιθανότητα να επιλεγεί από έναν αριθμό που έχει το 1 ως πρώτο ψηφίο.

α) Περιγράψτε το δειγματικό χώρο.

Ο δειγματικός χώρος είναι το σύνολο όλων των πιθανών αποτελεσμάτων, άρα Δ={10, 11, 12, … ,39}

β) Ποια η πιθανότητα να επιλεγεί ένας αριθμός με το 2 ως πρώτο ψηφίο;

Αν p είναι η πιθανότητα να επιλεγεί ένας αριθμός που έχει το 1 ως πρώτο ψηφίο τότε η πιθανότητα να επιλεγεί ένας αριθμός που έχει το 2 ως πρώτο ψηφίο θα είναι 2p και η πιθανότητα να επιλεγεί ένας αριθμός που έχει το 3 ως πρώτο ψηφίο θα είναι 3p. Άρα θα πρέπει να ισχύει η σχέση:

10p+20p+30p=1 δηλαδή 60p=1 άρα p=1/60. Έστω το γεγονός Α={επιλέγεται αριθμός με το 2 ως πρώτο ψηφίο}. Το Α={20, 21, … ,29}. Αφού η πιθανότητα του γεγονότος Α ισούται με το άθροισμα των πιθανοτήτων των δειγμάτων που συμπεριλαμβάνονται σε αυτό θα έχουμε p(Α)= p(20)+ p(21)+…+ p(29)=20/60=1/3.

γ) Ποια η πιθανότητα να επιλεγεί ένας αριθμός με το 2 ως δεύτερο ψηφίο;

Έστω το γεγονός Β={επιλέγεται αριθμός με το 2 ως δεύτερο ψηφίο}. Το Β={12, 22, 32}. Αφού η πιθανότητα ενός γεγονότος ισούται με το άθροισμα των πιθανοτήτων των δειγμάτων που συμπεριλαμβάνονται σε αυτό θα έχουμε p(Β)= p(12)+ p(22)+ p(32)=1/60+2/60+3/60=1/10.

δ) Ποια η πιθανότητα να επιλεγεί ένας αριθμός με το 2 ως πρώτο ή ως δεύτερο ψηφίο ή και τα δύο;

Από την αρχή του εγκλεισμού και του αποκλεισμού προκύπτει p(AÈ B)= p(A)+p(B)- p(AÇ B)=20/60+6/60-2/60=24/60.