Δεσμευμένη Πιθανότητα

Έστω Δ ένας δειγματικός χώρος και έστω Α και Β δύο γεγονότα στο Δ. Η πιθανότητα να συμβεί το Α δεδομένου ότι έχει συμβεί το Β ονομάζεται δεσμευμένη πιθανότητα του γεγονότος Α με δεδομένο το γεγονός Β και συμβολίζεται p(Α|Β).

Έστω pΒ(xi) η πιθανότητα του xi δεδομένου ότι συνέβη το Β.

Αν xiΟ Β τότε pΒ(xi)=0

Αν xiΞ Β τότε pΒ(xi)=p(xi)/p(Β)

Γενικότερα, p(Α|Β)= p(ΑΗ Β)/p(Β)

Παράδειγμα: Έστω τα δεδομένα του προηγούμενου παραδείγματος. Ποια η πιθανότητα το άτομο που επιλέξαμε να είναι φαλακρό

α) γνωρίζοντας ότι έχουμε επιλέξει γυναίκα;

β) γνωρίζοντας ότι έχουμε επιλέξει άνδρα;

Έστω Α, Β και Γ τα γεγονότα επιλογής φαλακρού, γυναίκας και άνδρα αντίστοιχα.

Τότε p(Α|Β)= p(ΑΗ Β)/p(Β)=0,175

Τότε p(Α|Γ)= p(ΑΗ Γ)/p(Γ)=0,623

Παράδειγμα: Μία εταιρεία αγόρασε 50000 λάμπες από το προμηθευτή Α, 30000 λάμπες από το προμηθευτή Β και 20000 λάμπες από το προμηθευτή Γ. Είναι γνωστό ότι το ποσοστό ελαττωματικών λαμπών των προμηθευτών Α, Β και Γ είναι 2%, 3% και 5% αντίστοιχα.

α) Ποιος είναι ο δειγματικός χώρος και ποια η πιθανότητα του κάθε δείγματος;

Δ={ακ, αε, βκ, βε, γκ, γε}

Στις 100000 λάμπες θα υπάρχουν 1000 ελαττωματικές από τον προμηθευτή Α, 900 ελαττωματικές από τον προμηθευτή Β και 1000 ελαττωματικές από τον προμηθευτή Γ.

p(ακ)=0,490 p(αε)=0,010 p(βκ)=0,291 p(βε)=0,009 p(γκ)=0,190

p(γε)=0,010

β) Αν επιλεγεί μία από τις λυχνίες ποια είναι η πιθανότητα να είναι ελαττωματική;

Έστω Ε={επιλέγεται ελαττωματική λάμπα} δηλαδή Ε={αε, βε, γε} και p(Ε)= p(αε)+ p(βε)+ p(γε)=0,029

γ) Δεδομένου ότι μία λάμπα που επιλέγεται τυχαία είναι ελαττωματική, ποια η πιθανότητα να είναι από το προμηθευτή Α.

Έστω Α={επιλέγεται λάμπα του προμηθευτή Α}. Αναζητούμε τη πιθανότητα p(Α|Ε)= p(ΑÇ Ε)/p(Ε)=0,010/0,029=0,345.

δ) Δεδομένου ότι η λάμπα που επιλέγεται τυχαία δεν είναι του προμηθευτή Α, ποια είναι η πιθανότητα να είναι ελαττωματική;

Έστω Β={επιλέγεται λάμπα του προμηθευτή Β} και Γ={επιλέγεται λάμπα του προμηθευτή Γ}. Αναζητούμε τη πιθανότητα p(Ε|ΒÈ Γ)= p(ΕÇ (ΒÈ Γ))/p(ΒÈ Γ)=0,019/0,500=0,038.