Παρατήρηση

Όταν έχουμε να τοποθετήσουμε k αντικείμενα σε n θέσεις η αντιμετώπιση του προβλήματος είναι ξεκάθαρη. Για παράδειγμα όταν θέλουμε να τοποθετήσουμε k μπάλες σε n κουτιά δεν υπάρχει αμφιβολία για το ποια είναι τα αντικείμενα και ποιες είναι οι θέσεις.

Ιδιαίτερη προσοχή χρειάζεται όταν έχουμε να επιλέξουμε k από n αντικείμενα. Σε αυτή τη περίπτωση θα πρέπει να αντιμετωπίσουμε τα n αντικείμενα ως κουτιά και να σημειώνουμε τα k επιλεγμένα αντικείμενα με ένα σημάδι. (Φανταστείτε ότι βάζοντας ένα σημάδι σε ένα αντικείμενο είναι σαν να τοποθετείτε μία μπάλα μέσα στο κουτί).

Με βάση τα παραπάνω μπορούμε να επιλέγουμε ΣΩΣΤΑ τις μπάλες και τα κουτιά.

Για παράδειγμα στο ερώτημα: "Με πόσους τρόπους είναι δυνατόν να προγραμματιστούν τρία διαγωνίσματα σε μία περίοδο πέντε ημερών, έτσι ώστε να μην έχουν προγραμματιστεί δύο διαγωνίσματα για την ίδια ημέρα;"

Είναι ξεκάθαρο ποια είναι η μπάλα και ποιο το κουτί. Τα τρία διαφορετικά διαγωνίσματα (μπάλες - αντικείμενα) πρέπει να τα τοποθετήσουμε σε πέντε μέρες (θέσεις - κουτιά), και μάλιστα (στο συγκεκριμένο παράδειγμα) υπό την προϋπόθεση ότι κάθε κουτί χωράει μία μόνο μπάλα.

Μία από τις πιθανές διατάξεις είναι η παρακάτω:

Άρα το αποτέλεσμα είναι P(5,3)=5x4x3=60 ή αν θέλετε σύμφωνα με το τύπο του P(n, k) θα έχουμε

Από την άλλη πλευρά η άσκηση:

"Υποθέστε ότι δεν επιτρέπονται επαναλήψεις. Πόσοι τετραψήφιοι αριθμοί είναι δυνατόν να σχηματιστούν από τα ψηφία 1, 2, 3, 5, 7, 8."

αποτελεί πρόβλημα 4 από 6 αντικείμενα χωρίς επανάθεση. Αν θέλουμε να αντιμετωπίσουμε αυτό το πρόβλημα ως πρόβλημα τοποθέτησης μπαλών σε κουτιά θα πρέπει να θεωρήσουμε τα 6 ψηφία ως κουτιά και να σημειώσουμε τα 4 επιλεγμένα ψηφία με ένα σημάδι το οποίο θα συμβολίζεται με τη τοποθέτηση μίας μπάλας στο αντίστοιχο κουτί.

Μία από τις πιθανές διατάξεις είναι η παρακάτω (ο τετραψήφιος 7318):

Άρα το αποτέλεσμα είναι P(6,4)=6x5x4x3=360 ή αν θέλετε σύμφωνα με το τύπο του P(n, k) θα έχουμε .

Πρέπει να σημειωθεί ότι αυτός είναι ο μοναδικός τρόπος που μπορούμε να δούμε το πρόβλημα σαν πρόβλημα τοποθέτησης μπαλών σε κουτιά. Το να αντιμετωπίσουμε το πρόβλημα θεωρώντας τις 4 θέσεις του τετραψήφιου αριθμού ως κουτιά και τα 6 ψηφία ως μπάλες θα ήταν λάθος γιατί μας ζητήθηκε να διατάξουμε 4 από 6 ψηφία. Δεν μας ζητήθηκε να τοποθετήσουμε 6 μπάλες σε 4 κουτιά, απαίτηση που θα ήταν παράλογη δεδομένου ότι κάθε κουτί χωράει μία μόνο μπάλα.

Αντίστοιχα το πρόβλημα:

"Υποθέστε ότι επιτρέπονται επαναλήψεις. Πόσοι τετραψήφιοι αριθμοί είναι δυνατόν να σχηματιστούν από τα ψηφία 1, 2, 3, 5, 7, 8."

αποτελεί πρόβλημα διάταξης 4 από 6 αντικείμενα με επανάθεση. Αν θέλουμε να αντιμετωπίσουμε αυτό το πρόβλημα ως πρόβλημα τοποθέτησης μπαλών σε κουτιά θα πρέπει να θεωρήσουμε τα 6 ψηφία ως κουτιά που μπορούν να δεχτούν περισσότερες από μία μπάλες και να σημειώσουμε τα 4 επιλεγμένα ψηφία με ένα σημάδι (τη θέση του ψηφίου στον τετραψήφιο αριθμό) το οποίο θα συμβολίζεται με τη τοποθέτηση μίας μπάλας στο αντίστοιχο κουτί.

 

 

Μία από τις πιθανές διατάξεις είναι η παρακάτω (ο τετραψήφιος 7718):

Άρα το αποτέλεσμα είναι nk=64=1296.