Διατάξεις με Επανάληψη

Ας επιστρέψουμε στο πρόβλημα στο οποίο τοποθετούμε k διαφορετικές μπάλες σε n διαφορετικά αριθμημένα κουτιά. Ας υποθέσουμε ότι ένα κουτί μπορεί να χωρέσει όσες μπάλες θέλουμε. Έτσι όλες οι μπάλες μπορούν να τοποθετηθούν σε οποιοδήποτε από τα n κουτιά.

Έτσι υπάρχουν nk τρόποι για να τοποθετήσουμε k διαφορετικές μπάλες σε n διαφορετικά αριθμημένα κουτιά.

Παράδειγμα: Με πόσους τρόπους είναι δυνατόν να προγραμματιστούν τρία διαγωνίσματα σε μία περίοδο πέντε ημερών, χωρίς περιορισμό στον αριθμό των διαγωνισμάτων που προγραμματίζονται για την ίδια ημέρα;

Θεωρώντας τα διαγωνίσματα ως διαφορετικές μπάλες και τις ημέρες ως αριθμημένα κουτιά παίρνουμε το αποτέλεσμα 5x5x5=125.

Παράδειγμα: Με πόσους τρόπους μπορούν να χωριστούν k φοιτητές σε n ομάδες;

Ο πρώτος φοιτητής μπορεί να τοποθετηθεί σε οποιαδήποτε από τις n ομάδες. Ο δεύτερος μπορεί επίσης να τοποθετηθεί σε οποιαδήποτε από τις n ομάδες, … και ο k-στος φοιτητής σε οποιαδήποτε από n ομάδες.

Άρα υπάρχουν nk τρόποι για να τοποθετήσουμε k φοιτητές σε n ομάδες.

Παράδειγμα: Με πόσους τρόπους μπορούμε να σχηματίσουμε συμβολοσειρές από τέσσερα γράμματα;

Για τη πρώτη θέση υπάρχουν 24 επιλογές γραμμάτων. Αφού επιτρέπεται να χρησιμοποιήσουμε το ίδιο γράμμα και για τη δεύτερη θέση υπάρχουν 24 επιλογές γραμμάτων. Το ίδιο ισχύει και για τη τρίτη και τέταρτη θέση.

Άρα ο συνολικός αριθμός των διαφορετικών συμβολοσειρών με τέσσερα γράμματα είναι 24x24x24x24=331776.